初中数学 寒假初一下学期数学预习领先班（北师版）全11讲
第1讲：整式的运算初步（一）
第2讲：整式的运算初步（二）
第3讲：整式的运算初步（三）
第4讲：相交线与平行线初步（一）
第5讲：相交线与平行线初步（二）
第6讲：相交线与平行线初步（三）
第7讲：相交线与平行线初步（四）
第8讲：三角形初步（一）
第9讲：三角形初步（二）
第10讲：轴对称初步
第11讲：概率初步
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初中数学寒假初一下学期数学预习领先班（北师版）课程总结
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初中数学寒假初一下学期数学预习领先班（北师版）课程总结
寒假是学习新知识、实现弯道超车的黄金时期。这套初一下学期数学预习领先班课程（北师版）共 11 讲，全面覆盖了北师版初一数学下册的重点知识模块，帮助学生提前熟悉新知识，为新学期的学习打下坚实的基础。
一、整式的运算初步（第 1 – 3 讲）
整式的运算是初中代数的基础，贯穿整个初中数学学习。这部分内容分三讲逐步深入，从同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方，到同底数幂的除法，再到整式的乘法。
在同底数幂的乘法中，学生要掌握 “底数不变，指数相加” 这一核心法则，即
a
m
⋅a
n
=a
m+n
（
m
，
n
是正整数）。例如，
2
3
⋅2
4
=2
3+4
=2
7
。此法则不仅适用于两个同底数幂相乘，还可推广到三个及以上同底数幂相乘 ，如
a
m
⋅a
n
⋅a
p
=a
（
m
，
n
，
p
都是正整数）。幂的乘方法则为 “底数不变，指数相乘”，即
(a
m
)
n
=a
mn
（
m
，
n
是正整数），像
(3
2
)
3
=3
2×3
=3
6
。积的乘方是把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即
(ab)
n
=a
n
b
n
（
n
是正整数），如
(2x)
3
=2
3
⋅x
3
=8x
3
。
同底数幂的除法，法则是 “底数不变，指数相减”，字母表示为
a
m
÷a
n
=a
m−n
（
a
=0
，
m
，
n
是正整数，
m＞n
），比如
5
5
÷5
3
=5
5−3
=5
2
。在学习过程中，学生要特别注意底数
a
=0
，因为
0
不能做除数。
整式的乘法包括单项式乘单项式、单项式乘多项式以及多项式乘多项式。单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。例如，
3x
2
y⋅2xy
3
=(3×2)⋅(x
2
⋅x)⋅(y⋅y
3
)=6x
3
y
4
。单项式乘多项式，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，如
2a(3a−2b)=2a⋅3a−2a⋅2b=6a
2
−4ab
。多项式乘多项式，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加，
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
。
通过这三讲的学习，学生将掌握整式运算的基本方法，为后续学习代数式的化简、求值等内容奠定基础。
二、相交线与平行线初步（第 4 – 7 讲）
这部分内容主要研究平面内两条直线的位置关系，是几何学习的重要基础。从相交线开始，学习邻补角、对顶角的概念及性质。邻补角互补，对顶角相等，这是解决与相交线相关问题的重要依据。例如，若
∠1
与
∠2
是对顶角，则
∠1=∠2
。
垂直是相交的特殊情形，在生活中应用广泛。当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
接着学习两条直线被第三条直线所截形成的同位角、内错角、同旁内角。这些角的位置关系是判断两直线平行的重要依据。对于平行线，课程引入了平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
在平行线的判定方面，结合推三角尺画平行线的方法，得出 “同位角相等，两直线平行”，进而推理出 “内错角相等，两直线平行” 和 “同旁内角互补，两直线平行”。例如，若
∠1=∠2
（同位角），则直线
a∥b
。平行线的性质则是通过探究得出性质 1：两直线平行，同位角相等，再由性质 1 推理得出性质 2：两直线平行，内错角相等和性质 3：两直线平行，同旁内角互补。如已知直线
a∥b
，则
∠1=∠2
（同位角），
∠3=∠4
（内错角），
∠5+∠6=180°
（同旁内角）。
这四讲的内容帮助学生建立起几何图形中直线位置关系的基本认知，培养学生的逻辑推理和空间想象能力。
三、三角形初步（第 8 – 9 讲）
三角形是初中几何的重要图形。首先学习三角形的定义，即由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接所形成的图形。三角形内角和等于 180°，这是三角形的重要性质。直角三角形的两个锐角互余，如在
Rt△ABC
中，
∠C=90°
，则
∠A+∠B=90°
。
三角形的三边关系也十分关键，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即
a−b＜c＜a+b
（
a
，
b
，
c
为三角形三边）。
三角形的高、中线和角平分线也是重要概念。从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高；连接三角形的一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线，三角形的三条中线交于一点，这个交点叫做三角形的重心；在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
按角分类，三角形可分为锐角三角形（三个角都是锐角）、直角三角形（一个直角和两个锐角）、钝角三角形（一个钝角和两个锐角）；按边分类，可分为不等边三角形（三边都不相等）、等腰三角形（至少有两边相等，包括等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，三边都相等）。
通过这两讲的学习，学生对三角形的基本概念和性质有了系统的认识，为后续学习全等三角形、等腰三角形等内容做好铺垫。
四、轴对称初步（第 10 讲）
轴对称是一种重要的图形变换。如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。例如，等腰三角形就是轴对称图形，它的底边上的高所在直线就是对称轴。
在学习过程中，学生要理解轴对称图形的性质，即对称轴两侧的对应点到对称轴的距离相等，对应线段相等，对应角相等。这一性质在解决几何图形的折叠、对称等问题中经常用到。通过对轴对称初步知识的学习，培养学生对图形美的感知和对几何图形性质的深入理解，同时为后续学习等腰三角形、等边三角形等具有轴对称性质的图形奠定基础。
五、概率初步（第 11 讲）
概率是研究随机现象的数学分支。在这一讲中，学生初步接触概率的概念，了解事件发生的可能性有大小之分。必然事件是在一定条件下必然会发生的事件，其发生的概率为 1；不可能事件是在一定条件下必然不会发生的事件，其发生的概率为 0；随机事件是在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，其发生的概率介于 0 和 1 之间。
通过简单的例子，如掷骰子、摸球等试验，让学生学会用分数或百分数来表示事件发生的概率。例如，掷一枚均匀的骰子，掷出点数为 1 的概率是
6
1
，因为骰子有 6 个面，每个面出现的可能性相等。概率初步的学习让学生体会到数学与生活的紧密联系，培养学生用数学的眼光看待生活中的随机现象，提高学生分析问题和解决问题的能力。
通过这 11 讲的预习课程，学生提前对北师版初一下学期数学知识有了全面的认识，从代数中的整式运算到几何中的相交线、平行线、三角形、轴对称，再到统计与概率中的概率初步，各个知识模块相互关联又各有侧重。学生在学习过程中，不仅掌握了具体的知识点和解题方法，更重要的是培养了逻辑思维、空间想象、数据分析等数学核心素养，为新学期的数学学习做好充分准备，在未来的数学学习道路上能够更加自信、从容地应对各种挑战。
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老师：同学们，今天咱们来聊聊初中数学寒假初一下学期数学预习领先班（北师版）这套课程。它一共有 11 讲，涵盖了初一下学期数学不少重点知识模块呢。咱们先来说说整式的运算初步这部分，它在初中代数里可是基础，贯穿整个初中数学学习。
老师：第 1 – 3 讲都是关于整式运算初步的。从同底数幂的乘法开始，同学们要记住 “底数不变，指数相加” 这个核心法则，用字母表示就是
a
m
⋅a
n
=a
m+n
（
m
，
n
是正整数）。比如说，
2
3
⋅2
4
，按照这个法则，底数
2
不变，指数
3
和
4
相加，结果就是
2
3+4
=2
7
。而且这个法则还能推广到三个及以上同底数幂相乘哦，像
a
m
⋅a
n
⋅a
p
=a
m+n+p
（
m
，
n
，
p
都是正整数）。
老师：幂的乘方法则是 “底数不变，指数相乘”，也就是
(a
m
)
n
=a
mn
（
m
，
n
是正整数）。比如
(3
2
)
3
，底数
3
不变，指数
2
和
3
相乘，得到
3
2×3
=3
6
。积的乘方呢，是把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，用字母表示为
(ab)
n
=a
n
b
n
（
n
是正整数），就像
(2x)
3
，
2
和
x
分别乘方，得到
2
3
⋅x
3
=8x
3
。
老师：同底数幂的除法，法则是 “底数不变，指数相减”，字母表示为
a
m
÷a
n
=a
m−n
（
a
=0
，
m
，
n
是正整数，
＞
）。比如
5
5
÷5
3
，底数
5
不变，指数相减，结果就是
5
5−3
=5
2
。这里要特别注意，底数
a
不能为
0
，因为
0
不能做除数哦。
老师：整式的乘法包含单项式乘单项式、单项式乘多项式以及多项式乘多项式。单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，就连同它的指数作为积的一个因式。像
3x
2
y⋅2xy
3
，系数
3
和
2
相乘，同底数幂
x
2
和
x
相乘，
y
和
y
3
相乘，得到
(3×2)⋅(x
2
⋅x)⋅(y⋅y
3
)=6x
3
y
4
。单项式乘多项式，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，例如
2a(3a−2b)=2a⋅3a−2a⋅2b=6a
2
−4ab
。多项式乘多项式，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加，就像
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
。通过这三讲的学习，大家掌握了整式运算的基本方法，这对后续学习代数式的化简、求值等内容可很有帮助呢。
老师：接下来，第 4 – 7 讲是相交线与平行线初步。这部分主要研究平面内两条直线的位置关系，是几何学习的重要基础。一开始学相交线，要了解邻补角、对顶角的概念及性质。邻补角互补，对顶角相等，这在解决与相交线相关问题时很重要。比如说，如果
∠1
与
∠2
是对顶角，那么
∠1=∠2
。
老师：垂直是相交的特殊情形，在生活里应用很广泛。当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。然后呢，学习两条直线被第三条直线所截形成的同位角、内错角、同旁内角，这些角的位置关系是判断两直线平行的重要依据。
老师：对于平行线，课程里引入了平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。在平行线的判定方面，结合推三角尺画平行线的方法，得出 “同位角相等，两直线平行”，进而还能推理出 “内错角相等，两直线平行” 和 “同旁内角互补，两直线平行”。比如，如果
∠1=∠2
（同位角），那么直线。平行线的性质呢，是通过探究得出性质 1：两直线平行，同位角相等，再由性质 1 推理得出性质 2：两直线平行，内错角相等和性质 3：两直线平行，同旁内角互补。就像已知直线，那么
∠1=∠2
（同位角），
∠3=∠4
（内错角），
∠5+∠6=180°
（同旁内角）。这四讲的内容能帮助大家建立起几何图形中直线位置关系的基本认知，培养逻辑推理和空间想象能力哦。
老师：第 8 – 9 讲是三角形初步。三角形可是初中几何的重要图形。先得知道三角形的定义，就是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接所形成的图形。三角形内角和等于 180°，这是它很重要的性质。直角三角形的两个锐角互余，在中，如果
∠C=90°
，那么
∠A+∠B=90°
。
老师：三角形的三边关系也很关键，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，用字母表示就是
＜
＜
（
a
，
b
，
c
为三角形三边）。还有三角形的高、中线和角平分线，从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高；连接三角形的一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线，三角形的三条中线交于一点，这个交点叫做三角形的重心；在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
老师：按角分类，三角形可分为锐角三角形（三个角都是锐角）、直角三角形（一个直角和两个锐角）、钝角三角形（一个钝角和两个锐角）；按边分类，可分为不等边三角形（三边都不相等）、等腰三角形（至少有两边相等，等边三角形是特殊的等腰三角形，三边都相等）。通过这两讲的学习，大家对三角形的基本概念和性质有了系统的认识，这为后续学习全等三角形、等腰三角形等内容可就做好铺垫啦。
老师：第 10 讲是轴对称初步。轴对称是一种重要的图形变换。如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。比如说等腰三角形就是轴对称图形，它底边上的高所在直线就是对称轴。学习的时候，要理解轴对称图形的性质，就是对称轴两侧的对应点到对称轴的距离相等，对应线段相等，对应角相等。这个性质在解决几何图形的折叠、对称等问题中经常会用到。通过这一讲，能培养大家对图形美的感知和对几何图形性质的深入理解，同时也为后续学习等腰三角形、等边三角形等具有轴对称性质的图形奠定基础。
老师：最后第 11 讲是概率初步。概率是研究随机现象的数学分支。在这一讲里，大家初步接触概率的概念，知道事件发生的可能性有大小之分。必然事件是在一定条件下必然会发生的事件，它发生的概率为 1；不可能事件是在一定条件下必然不会发生的事件，它发生的概率为 0；随机事件是在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，它发生的概率介于 0 和 1 之间。通过像掷骰子、摸球等简单例子，大家要学会用分数或百分数来表示事件发生的概率。比如说，掷一枚均匀的骰子，掷出点数为 1 的概率是
6
1
，因为骰子有 6 个面，每个面出现的可能性相等。概率初步的学习能让大家体会到数学与生活的紧密联系，培养用数学的眼光看待生活中的随机现象，提高分析问题和解决问题的能力。
老师：通过这 11 讲的预习课程，大家提前对北师版初一下学期数学知识有了全面的认识。从代数里的整式运算，到几何中的相交线、平行线、三角形、轴对称，再到统计与概率中的概率初步，各个知识模块相互关联又各有侧重。在学习过程中，大家不仅掌握了具体的知识点和解题方法，更重要的是培养了逻辑思维、空间想象、数据分析等数学核心素养。这为新学期的数学学习做好了充分准备，以后在数学学习道路上，大家就能更加自信、从容地应对各种挑战啦。同学们要是对哪个知识点还有疑问，或者觉得哪里需要补充实例，随时都能问哦。
